Aproximaciones de números y errores (1)
En muchas ocasiones nos vemos en la obligación o la necesidad de utilizar aproximaciones de ciertos números. En unos casos se hace por comodidad, para trabajar con menos cifras y agilizar los cálculos.
Sin embargo, en otras situaciones no queda otra opción que aproximar determinados número ante la imposibilidad de trabajar con sus infinitas cifras decimales. Tal es el caso de números como 1/3, π, el número de Euler "e", el número áureo "Φ" o la raíz cuadrada de 2.
Todos los números anteriores poseen infinitas cifras decimales. Para un ser humano resulta imposible realizar operaciones y cálculos con sus infinitas cifras. Incluso una calculadora o un potente ordenador con una capacidad de cálculo que ni podemos imaginar, aunque no nos lo parezca, trabaja con aproximaciones de dicho números.
Reconociendo que aproximar números es un mal necesario, surgen muchas cuestiones. ¿En qué medida son buenas nuestras aproximaciones? ¿Qué error se comete al aproximar? ¿Es posible llegar a medir esos errores?
El error absoluto de una aproximación (EABS).
El error absoluto de un número se define como | Vexacto - Vaproximado |.
Este error no nos permite de forma precisa determinar si nuestra aproximación es buena. Para justificar la afirmación anterior, usaremos un ejemplo más o menos fácil de comprender.
Si cometemos un error de 1 m al medir la distancia que separa la Tierra del Sol, cometemos ese mismo error de 1 m al medir las dimensiones de una pista de baloncesto o cometemos un error de 1 m al medir el tamaño de un átomo de carbono, en los tres casos el error absoluto, EABS, es el mismo. En los tres casos dicho error es de un metro.
No obstante, todos estaremos de acuerdo en que ese error es muy grave en el tercer caso, menos grave en el segundo y prácticamente despreciable en el primero. Por tanto, lo que hace que la aproximación de un valor sea buena o mala no es el error absoluto, sino la comparación de ese error con el valor exacto.
El error relativo de una aproximación (EREL).
El error relativo de un número se define como EABS ÷ Vexacto.
El error relativo, a diferencia del error absoluto, sí se trata de un buen referente para conocer si nuestra aproximación es buena o mala, ya que, al dividir el error absoluto por el valor exacto, estamos eliminando la importancia del tamaño de los números implicados.
Volviendo al ejempo del apartado anterior, al dividir 1 m por la distancia Tierra-Sol (que es un valor muy grande), estamos comparando ambos números. El error de 1 m se ve "muy amortiguado" por la distancia entre ambos astros.
Siguiendo ese mismo razonamiento para la pista de baloncesto, cuyas dimensiones son mucho más pequeñas que las distancias implicadas en el primer ejemplo, vemos que ese cociente es un número algo mucho más grande, pero todavía aceptable.
Sin embargo, para el tercer caso, al dividir 1 m por el tamaño de un átomo, obtenemos un cociente muy grande. Comparando los dos valores, vemos claramente que el error cometido en esa medida es desorbitado.
El error porcentual de una aproximación (EREL).
El error porcentual de un número se define como EREL x 100, y se mide en términos de tanto porciento, es decir, el resultado debe ir acompañado siempre por el símbolo %.
De las tres formas que podemos utilizar para medir el error cometido al realizar una aproximación, es la que mejor referencia nos ofrece para calibrar la bondad de nuestra aproximación.
No obstante, también aquí hay que hacer una pausa para concretar qué entendemos por una buena aproximación. Dependiendo de la materia de la que estemos hablando, habrá un mayor o menor nivel de exigencia para valorar nuestros errores.
Por ejemplo, un error del 2% cuando realizamos los cálculos para enviar una sonda a algún planeta del Sistema Solar puede suponer que esa nave se estrelle o que se pose adecuadamente sobre su superficie. En otras áreas de conocimiento, un error del 5% puede ser incluso aceptable.
Por lo tanto, y dependiendo de qué problema estemos aforntando, el límite entre una buena aproximación y una mala aproximación debe fijarse dentro de una lógica distinta.
En las próximas entradas de este blog iremos desgranando una cantidad suficiente de ejemplos que nos permitirán ver, de manera muy sencilla, cómo calcular esos tres tipos de errores, así como tomar la decisión sobre si nuestras aproximaciones son buenas o malas.
Sin embargo, en otras situaciones no queda otra opción que aproximar determinados número ante la imposibilidad de trabajar con sus infinitas cifras decimales. Tal es el caso de números como 1/3, π, el número de Euler "e", el número áureo "Φ" o la raíz cuadrada de 2.
Todos los números anteriores poseen infinitas cifras decimales. Para un ser humano resulta imposible realizar operaciones y cálculos con sus infinitas cifras. Incluso una calculadora o un potente ordenador con una capacidad de cálculo que ni podemos imaginar, aunque no nos lo parezca, trabaja con aproximaciones de dicho números.
Reconociendo que aproximar números es un mal necesario, surgen muchas cuestiones. ¿En qué medida son buenas nuestras aproximaciones? ¿Qué error se comete al aproximar? ¿Es posible llegar a medir esos errores?
El error absoluto de una aproximación (EABS).
El error absoluto de un número se define como | Vexacto - Vaproximado |.
Este error no nos permite de forma precisa determinar si nuestra aproximación es buena. Para justificar la afirmación anterior, usaremos un ejemplo más o menos fácil de comprender.
Si cometemos un error de 1 m al medir la distancia que separa la Tierra del Sol, cometemos ese mismo error de 1 m al medir las dimensiones de una pista de baloncesto o cometemos un error de 1 m al medir el tamaño de un átomo de carbono, en los tres casos el error absoluto, EABS, es el mismo. En los tres casos dicho error es de un metro.
No obstante, todos estaremos de acuerdo en que ese error es muy grave en el tercer caso, menos grave en el segundo y prácticamente despreciable en el primero. Por tanto, lo que hace que la aproximación de un valor sea buena o mala no es el error absoluto, sino la comparación de ese error con el valor exacto.
El error relativo de una aproximación (EREL).
El error relativo de un número se define como EABS ÷ Vexacto.
El error relativo, a diferencia del error absoluto, sí se trata de un buen referente para conocer si nuestra aproximación es buena o mala, ya que, al dividir el error absoluto por el valor exacto, estamos eliminando la importancia del tamaño de los números implicados.
Volviendo al ejempo del apartado anterior, al dividir 1 m por la distancia Tierra-Sol (que es un valor muy grande), estamos comparando ambos números. El error de 1 m se ve "muy amortiguado" por la distancia entre ambos astros.
Siguiendo ese mismo razonamiento para la pista de baloncesto, cuyas dimensiones son mucho más pequeñas que las distancias implicadas en el primer ejemplo, vemos que ese cociente es un número algo mucho más grande, pero todavía aceptable.
Sin embargo, para el tercer caso, al dividir 1 m por el tamaño de un átomo, obtenemos un cociente muy grande. Comparando los dos valores, vemos claramente que el error cometido en esa medida es desorbitado.
El error porcentual de una aproximación (EREL).
El error porcentual de un número se define como EREL x 100, y se mide en términos de tanto porciento, es decir, el resultado debe ir acompañado siempre por el símbolo %.
De las tres formas que podemos utilizar para medir el error cometido al realizar una aproximación, es la que mejor referencia nos ofrece para calibrar la bondad de nuestra aproximación.
No obstante, también aquí hay que hacer una pausa para concretar qué entendemos por una buena aproximación. Dependiendo de la materia de la que estemos hablando, habrá un mayor o menor nivel de exigencia para valorar nuestros errores.
Por ejemplo, un error del 2% cuando realizamos los cálculos para enviar una sonda a algún planeta del Sistema Solar puede suponer que esa nave se estrelle o que se pose adecuadamente sobre su superficie. En otras áreas de conocimiento, un error del 5% puede ser incluso aceptable.
Por lo tanto, y dependiendo de qué problema estemos aforntando, el límite entre una buena aproximación y una mala aproximación debe fijarse dentro de una lógica distinta.
En las próximas entradas de este blog iremos desgranando una cantidad suficiente de ejemplos que nos permitirán ver, de manera muy sencilla, cómo calcular esos tres tipos de errores, así como tomar la decisión sobre si nuestras aproximaciones son buenas o malas.